Ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
Tipo homogénea ecuaciones diferenciales de primer orden[editar]
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma:
es del tipo homogénea si las funciones y son funciones homogéneas de mismo grado .[1] Esto es, multiplicando cada variable por un parámetro , se halla
- y
Así,
Método de resolución[editar]
En el cociente
haciendo para simplificar esta ecuación para una función de la variable simple :
Se introduce el cambio de variables ; diferenciando usando la regla del producto:
así transformando la ecuación diferencial original en la forma separable
esta forma puede ahora integrarse directamente (ver ecuación diferencial ordinaria).
Caso especial[editar]
Una ecuación diferencial de primer orden de la forma (a, b, c, e, f, g son coeficientes constantes)
donde af ≠ be puede transformarse en un tipo homogéneo mediante una transformación lineal de ambas variables ( y son constantes):
- 
Ahora determinar dichas constantes de forma que los términos independientes sean nulos.
Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas[editar]
|
Una ecuación diferencial lineal puede representarse con un operador lineal actuando sobre y(x) donde x es usualmente la variable independiente e y es la variable dependiente. Entonces, la forma general de una ecuación diferencial lineal homogénea es
donde L es un operador diferencial, una suma de las derivadas (definiendo como "derivada 0" a la función original, no derivada), cada una multiplicada por otra función de x:
donde pueden ser constantes, pero no todas las pueden ser nulas.
Por ejemplo, la siguiente ecuación diferencial es homogénea:
sin embargo las siguientes dos son inhomogéneas:
La existencia de un término constante es una condición suficiente para que una ecuación sea inhomogénea, como el ejemplo anterior.
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes de orden mayor o igual a dos[editar]
Son de especial relevancia este otro tipo de ecuaciones, en cuya versión más simplificada son de la forma :, donde los coeficientes son constantes con .
La solución de este tipo de ecuación es la combinación lineal de exponenciales cuyo argumento es el producto de la variable independiente con la que tiene dependencia la función, y la constante real, imaginaria o compleja que soluciona el polinomio característico de la ecuación, esto es:
De forma explícita aplicado a una ecuación de segundo orden:
las soluciones serán , de modo que se anule para todo el término que acompaña la exponencial cumpliéndose la igualdad. De este modo, la solución viene dada por . Las constantes y quedan definidas en caso de darse tantas condiciones iniciales o de contorno como el grado de la ecuación, en este caso dos. Por ejemplo, dado que y las constantes se obtendrían resolviendo el sistema de ecuaciones:
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Ince, 1956, p. 18
Bibliografía[editar]
- Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (en inglés) (10ª edición), Wiley, ISBN 978-0470458310..
- Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations (en inglés), New York: Dover Publications, ISBN 0486603490..
Enlaces externos[editar]
- Wikilibros en inglés alberga un libro o manual sobre Ordinary Differential Equations/Substitution 1.
- Ecuaciones diferenciales homogéneas en MathWorld. (en inglés)